sexta-feira, 30 de outubro de 2009

PITÁGORAS

Uma tripla pitagórica é uma terna de números inteiros que satisfaz a relação de Pitágoras. Por exemplo (3 ; 4 ; 5) é uma tripla pitagórica porque 32 + 42 = 52. Existe um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.



Uma tripla pitagórica gera infinitas triplas derivadas. Por exemplo a partir da tripla (3 ; 4 ; 5) pode-se ter (6 ; 8; 10), confira porque 62 + 82 = 102, o triângulo de lados 6, 8 e 10 é retângulo.



Multiplicando os números da tripla por 14 obtém-se (42 ; 56 ; 70) que é uma tripla pitagórica derivada.


Verifique que (7; 24 ; 25) é uma tripla pitagórica e descubra outra tripla derivada em que apareça o número 42.




Não existe uma tripla pitagórica primitiva com o número 42.



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Um abraço :)

 


quarta-feira, 28 de outubro de 2009

CONCLUSÃO


 
Através desse trabalho, pudemos vivenciar a evolução de um pensamento. A caminhada de uma idéia desde a sua percepção como uma necessidade para um ajuste num sistema criado para descrever as quantidades até sua formalização como algarismo. Certamente, o zero como elemento de contagem nunca seria percebido. Contudo, o aumento da complexidade das necessidades do cotidiano do ser humano acabou por abrir as portas para seu aparecimento.

Suas propriedades, temidas por nossos antigos, se mostraram importantíssimas, pois sem elas, jamais teríamos chegado à indeterminação e, conseqüentemente, nunca teríamos construído o cálculo tão necessário nos dias de hoje para inúmeras carreiras.

Portanto, com essa monografia, podemos exaltar o valor que realmente o zero tem. Afinal, por que buscamos a história do zero? Por que ele causou tantos problemas? Por que o número 2 não causou tantos embaraços? Por que nenhum outro número causou tantos desconfortos? Por que o zero?

Essas perguntas baseadas em nosso trabalho só demonstram sua real importância.

Esta foi a história do número zero. Acredito que muitos não sabiam a verdadeira saga pela qual o número passou. Foi uma luta, mas hoje sua utilização é fundamental.

Esta foi uma contribuição da Casa da Matemática para o ensino e divulgação da História da Matemática.

Se você gostou da história, dê sua opinião logo aqui embaixo.

Um abraço e até a próxima postagem.

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sexta-feira, 23 de outubro de 2009

CAPÍTULO 5


O TRIUNFO DO ZERO






A rejeição do zero pelo cristianismo foi breve. Leonardo de pisa, mais conhecido como Fibonacci, era filho de um comerciante italiano. Viajou pelo Norte da África. Aprendeu matemática com os muçulmanos e, rapidamente, se tornou um bom matemático. Foi esse o homem responsável pela reintrodução do zero no ocidente.


Fibonacci é mais conhecido por um pequeno problema que expôs no seu livro Liber Abaci, publicado em 1202. Eis o problema: Imaginemos que um agricultor tenha um par de coelhos bebês. Os coelhos demoram 2 meses para atingir a maturidade e partir daí geram outro par de coelhos no início de cada mês. A medida que esses coelhos atingem a maturidade e se reproduzem e esses outros coelhos atingem a maturidade e se reproduzem e assim sucessivamente, quantos pares de coelhos teremos num determinado mês?


O problema, então, se desenvolve da seguinte forma: no 1º mês, há um par de coelhos que não se reproduzem por não terem atingido a maturidade.


No 2º mês, ainda temos um par pelo mesmo motivo do 1º mês.


No início do terceiro mês, esse par de coelhos se reproduz: temos 2 pares.


No 4º mês, o primeiro par de coelhos se reproduz novamente, mas o segundo par ainda não atingiu a maturidade: estamos com 3 pares.


No quinto mês, o primeiro par se reproduz de novo e o 2º também, mas o 3º ainda não atingiu a maturidade: estamos com 5 pares de coelhos.


Assim por diante, o número de pares de coelhos se desenvolve desta forma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..... O número de pares coelhos que temos num determinado mês é a soma da quantidade de pares que tínhamos nos dois meses anteriores.


Rapidamente, os matemáticos perceberam algo nesta série. O considerar qualquer termo dividido pelo anterior, como por exemplo 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,61538....; notaram que essas frações se aproximam de um número muito interessante: a razão de ouro (1,61803....).


Pitágoras havia percebido que a natureza parecia ser governada pela razão de ouro e Fibonacci descobriu a sequência que é responsável por esse número. Isso é até os dias de hoje o motivo de sua fama.


Apesar disso, seu livro Liber Abaci tinha um objetivo mais importante do que cuidar da criação de animais. Como Fibonacci aprendera matemática com os muçulmanos, os números árabes estavam presentes em seu conhecimento, juntamente com o zero. Ao incluir o novo sistema em seu livro, acabou, finalmente, introduzindo o zero na Europa. O livro mostrava como os números árabes eram úteis para fazer cálculos complicados, o que despertou o interesse de mercadores e banqueiros italianos. Rapidamente, incorporaram esse novo sistema, com o zero incluído. Afinal, antes dos números árabes chegarem, os caixeiros utilizavam o ábaco ou um quadro de contas, chamado pelos alemães de Rechenbank, razão pela qual chamamos bancos a quem nos empresta dinheiro.


No entanto, os governos locais não viam com bons olhos os números árabes, apesar de sua grande aceitação por parte dos comerciantes. Em 1299, Florença aboliu os números árabes. A razão invocada era a de que esse números poderiam ser facilmente alterados (por exemplo o 0, zero, poderia se transformar em 6 num simples esbarrar de lápis). Mas, as vantagens do zero e dos outros números árabes não poderiam ser descartadas; os mercadores continuaram a usá-los, sobretudo para mandarem mensagens codificadas.


Mediante tal pressão, os governos tiveram que ceder. A notação árabe foi autorizada na Itália e rapidamente se espalhou pela Europa. O zero chegara, tal como o vazio.


A muralha aristotélica estava a desagregar-se graças às influências árabes e hindus e no século XV, mesmo os mais leais defensores do aristotelismos já tinha suas dúvidas. Todavia, a batalha contra Aristóteles estava longe de ser terminada. Se Aristóteles caía, vinha junto a demonstração de Deus – um baluarte da Igreja. Então, uma nova demonstração era necessária.


E ainda, se o universo é infinito, então não existe um centro. Logo, como pode a Terra ser o centro do Universo?


René Descartes, nascido em 1596, no centro de Roma, foi educado como jesuíta. Trouxe o zero para o centro da linha numérica e procuraria uma demonstração de Deus no vazio e no infinito, mesmo não rejeitando completamente Aristóteles. Descartes, matemático-filósofo cujo legado mais famoso fora sua invenção matemática daquilo que hoje chamamos coordenadas cartesianas, tinha medo do vazio. Por esse motivo, negou sua existência.


Descartes demonstrou a existência de Deus argumentando que nada em absoluto pode se originar do nada. Isto é, todas as idéias já existem no cérebro das pessoas quando nascem. Aprender é apenas o processo de descobrir o código de leis, sobre o funcionamento do universo, previamente impresso. Uma vez que o conceito de algo infinitamente perfeito estava presente nas nossas mentes, esse algo deve existir – Deus. Todos o seres não chegam a ser divinos: são finitos. Todos se situam entre Deus e o nada. Uma combinação de infinito e vazio.


Certamente essa foi uma das demonstrações da existência de Deus feita por matemáticos da época. Diversos outros tentaram argumentando cada qual da sua maneira. Pascal com a teoria das probabilidades, Leibniz com os números binários, Guido Grandi, um sacerdote italiano, com séries de infinitos zeros, e diversos outros mais.


No tocante ao universo, as teorias que unificaram a mecânica quântica e a relatividade geral, que descrevem o centro dos buracos negros e explicam a singularidade do Big Bang estão tão longe da experiência que pode ser impossível determinar quais estão corretas e quais não estão. Os argumentos de cosmólogos e teólogos de cordas pode ser matematicamente precisos e ao mesmo tempo ser tão inúteis quanto a filosofia de Pitágoras. As suas teorias matemáticas podem ser belas e consistentes, podem parecer explicar a natureza do universo, e estar absolutamente erradas.


Os cientistas, hoje, apenas sabem que o cosmos brotou do nada e retornará ao nada donde veio. O universo começa e acaba com o zero.

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domingo, 18 de outubro de 2009

CAPÍTULO 4 - O ZERO NO ORIENTE


Na última vez que vimos o zero no Oriente, era apenas um “marca-lugar”. Um espaço em branco no sistema de numeração babilônico. Sua utilidade era inegável, embora ainda sem um valor numérico por si próprio. O zero só ganhava significado quando havia dígitos à sua esquerda. Em outras palavras, o símbolo do zero não significava nada por si próprio. Porém, foi na Índia que tudo mudou.


No século IV a.C., Alexandre magno, marchou com suas tropas da babilônia até a Índia, provavelmente levando o zero consigo. Através desta invasão, matemáticos indianos tiveram contato pela primeira vez com o sistema numérico babilônico e, conseqüentemente, com o zero.


Após a morte de Alexandre Magno, em 323 a.C., os seus desordeiros generais dividiram o império em pedaços. Como resultado, a Índia ficou isolada da ascensão do cristianismo e da queda de Roma. Além disso, também ficou isolada da filosofia aristotélica. Na verdade, Alexandre foi ensinado por Aristóteles e também, certamente, introduziu as idéias aristotélicas na Índia. Contudo, estas não vingaram, e por uma razão particular que diferenciava a Índia da Grécia: a aceitação do vazio e do infinito.


O vazio tinha um valor importante na religião hindu. Como muitas religiões orientais, o Hinduísmo estava inserido em simbologias de dualidades. Tal como o Yin Yang do Extremo Oriente, a criação e a destruição estavam misturadas no Hinduísmo. O Deus Xiva, que era tanto criador quanto destruidor do mundo, era representado com o tambor da criação numa mão e a chama da destruição na outra. No entanto, Xiva também representava o nada. Um aspecto da divindade Nishkala Shiva era literalmente Xiva “sem partes”. Era o supremo nada a falta de vida encarnada. Mas a partir do vazio nasceu o universo, assim como o infinito. O cosmos hindu era infinito em expansão; havia inumeráveis outros universos. A própria doutrina hinduísta pregava o início da vida a partir do nada e o fim de tudo voltando para o nada.


Portanto, a Índia, como uma sociedade que explorava ativamente o vazio e o infinito, aceitou o zero.


Um texto indiano datado do mesmo ano da queda de Roma – 476 a.C. – mostra a influência da matemática grega, egípcia e babilônica na Índia, trazida por Alexandre. Como os egípcios, os indianos tinham “esticadores de corda” para planear templos e inspecionar terrenos. Tal como os gregos, possuíam um complicado sistema de astronomia. Tentaram até calcular a distância ao Sol, o que requeria trigonometria, cuja versão indiana provavelmente derivou do sistema que os gregos haviam desenvolvido.


Por volta do século V d.C., os matemáticos indianos alteraram o seu estilo de numeração mudando de um sistema estilo grego, para outro do estilo babilônico. Porém, os indianos não copiaram o sistema babilônico, pois havia uma grande diferença entre ambos: o sistema indiano era de base 10 enquanto que o babilônico era de base 60. Nosso números desenvolveram-se a partir dos símbolos usados pelos indianos. Não se sabe ao certo o momento exato que os indianos fizeram a troca para um sistema posicional do estilo babilônico. De qualquer forma, já pelo século IX, estava, certamente, em uso um símbolo para o zero – o “marca-lugar” do sistema decimal.


Os indianos nunca se apropriaram da geometria grega. Nunca se preocuparam em saber se a diagonal do quadrado é racional ou irracional e nem investigaram as secções cônicas, como o tinha feito Arquimedes. Mas aprenderam a brincar com os números.


O sistema indiano de numeração permitia-lhes usar estratégias para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números sem o uso do ábaco. Graças ao sistema posicional, conseguiram somar e subtrair números grandes similarmente ao jeito que realizamos atualmente. Com treino, era possível multiplicar números mais velozmente que um abacista conseguia calcular. Até concursos entre algoristas e abacistas se tornaram um grande desafio, onde, no final, os algoristas sempre ganhavam.


Contudo, o grande salto do sistema indiano não foi a bela capacidade e utilidade de fazer adições e multiplicações. A grande diferença estava na distinção entre números e geometria. O contrário do gregos, os indianos não viam quadrados em números quadrados e nem áreas de retângulos ao se multiplicar dois números. Em vez disso, viam o jogo recíproco dos algarismos que não mais traziam consigo um significado geométrico. Isto foi o nascimento daquilo que hoje chamamos de álgebra.


Esta atitude acabou impedindo que os indianos dessem uma contribuição importante para a geometria, mas isso permitiu-lhes libertar-se das deficiências do pensamento grego e da sua rejeição do zero.


Uma vez que o significado geométrico foi afastado dos algarismos, os matemáticos só tinham que se preocupar com as operações matemáticas fazerem sentido também para a geometria. Afinal, para os antigos gregos, 2 – 3 = -1 não fazia o menor sentido, já que não tem cabimento tirar 3 hectares de um terreno de apenas 2 hectares.


Já para os indianos, os números negativos tinham sentido. De fato, foi na Índia (e na China) que os números negativos apareceram primeiro.; Bramagupta, matemático indiano do século VII, ditou regras para dividir números uns pelos outros, incluindo os negativos. “Positivo a dividir por positivo e negativo por negativo, é afirmativo.”; ”Positivo a dividir por negativo é negativo.”. Regras que conhecemos hoje.


Tal como 2 – 3 = -1 era um número que fazia sentido, 2 – 2 = 0 também fazia sentido. Não só mais como um “marca-lugar” ou uma representação de um espaço vazio no ábaco mas fazia sentido como número; o número zero. Número que tinha seu valor específico e lugar fixo na linha numérica. Uma vez que o zero era igual a (2 – 2), então tinha de vir anteriormente a (2 – 1) e posteriormente a (2 – 3). o zero não poderia mais vir depois do 9, tal como vemos nos teclados de computador. O zero tinha sua posição na linha numérica e, sem ele, esta linha não poderia existir, tal como um sistema sem o 2, por exemplo. O zero finalmente chegara.


No entanto, os indianos achavam que o zero era um número muito bizarro. Afinal, zero multiplicado por qualquer número é zero e qualquer número dividido por zero joga tudo pelos ares. Bramagupta tentou calcular quanto era 0÷0 e 1 ÷ 0, e escreveu que 0 ÷ 0 = 0 e que 1 ÷ 0 era, bem...., algo que não se sabe ao certo porque não faz o menor sentido.


O erro de Bramagupta não perdurou por muito tempo. Os indianos logo perceberam que 1 ÷ 0 era infinito. O matemático indiano no século XII, Bháskara escreveu: “esta fração cujo denominador é zero, é designada por uma quantidade infinita.”; “Ao adicionarmos um número a 1 ÷ 0 , não há qualquer alteração, embora possam ser extraídas ou inseridas muitas, tal como nenhuma alteração tem lugar no Deus infinito e imutável.”


Deus, portanto, foi encontrado no infinito, e no zero.


O zero era o emblema dos novos ensinamentos, da rejeição de Aristóteles e da aceitação do vazio e do infinito. Por todo o mundo, sob o domínio muçulmano, o zero difundia-se à medida que o Islão se expandia, conflitando por todo o lado com a doutrina aristotélica.


Os antigos judeus medievais, tanto na Espanha quanto na Babilônia estavam firmemente ligados à doutrina aristotélica, tal como seis companheiros cristãos. Todavia, da mesma forma que a filosofia aristotélica entrava em conflito com seus ensinamentos islâmicos, também entrava em conflito com a teologia judaica. Isto levou Maimónides, rabi do século XII, a escrever um tomo para reconciliar a Bíblia oriental e semita com a filosofia ocidental grega que permeava a Europa.


Maimónides aprendera com Aristóteles a demonstrar a existência de Deus negando o infinito, reproduzindo fielmente os argumento gregos. Essa demonstração da existência de Deus era algo de grande valor em qualquer teologia. Ao mesmo tempo, a Bíblia e outras tradições semitas estavam repletas de idéias do infinito e do vazio – idéias que os muçulmanos já entendiam. Tal como Santo Agostinho, 800 anos antes, Maimónides tentou reformular a Bíblia semita para se ajustar à doutrina grega: a doutrina que se apavorava com a idéia do vazio. Todavia, Maimónides, ao contrário dos outros cristãos, não estava disposto a helenizar completamente sua religião. A tradição do Rabi forçou-o a aceitar os relatos bíblicos acerca da criação do mundo a partir do vazio, o que, por sua vez, significava contradizer Aristóteles.


Maimónides argumentou que havia falhas na demonstração aristotélica de que o universo sempre existiu, pois entrava em conflito com as Escrituras. Isto significava recusar Aristóteles. Maimónides afirmou que o ato da criação veio do nada. Com isso, o vazio passou de sacrilégio a sagrado.


Em 1277, o bispo de Paris, Étienne Tempier, convocou uma assembléia de eruditos para discutir aristotelismo, ou melhor, para o atacar. A onipotência de Deus era o maior ponto, não a ser discutido, mas a ser relacionado com as idéias de Aristóteles. Tempier aboliu muitas das doutrinas que contradiziam a onipotência divina, tal como: “Deus não pode mover os céus em linha reta, pois deixaria para trás um vácuo”. (As esferas rotativas ao girarem, estariam ocupando o mesmo espaço. Para mover as esferas em linha reta, era necessário um espaço vazio para onde as esferas se dirigiriam e outro espaço vazio deixado por elas após se movimentarem). Deus, se quisesse, poderia mover os céus em linha reta, pois a divindade onipotente não era obrigada a seguir as regras aristotélicas.


Esse era o momento mais propício para o zero chegar ao ocidente. Em meados do século XII, algumas adaptações de publicações matemáticas árabes já caminhavam pela Espanha, Inglaterra e o resto da Europa. O zero estava a caminho e chegou exatamente no momento em que a Igreja quebrava algumas algemas do aristotelismo.

terça-feira, 13 de outubro de 2009

Continuação...

Obter esse número era uma questão de dividir a linha de uma maneira especial: dividi-la em duas partes de modo que a razão da parte menor esteja para a parte maior assim como a maior para o todo, isto é:


Como 1 - V5 não é positivo, não fazia sentido para os gregos. Então,
é a razão de ouro.

Em palavras, figuras impregnadas de razão de ouro parecem mais agradáveis e mais belas. Ainda hoje, artistas e arquitetos utilizam intuitivamente a razão de ouro em seus projetos por saberem de suas qualidades estéticas. Mesmo a natureza parece ter a razão de ouro em seus projetos.


O pentagrama tornou-se o símbolo mais sagrado da irmandade pitagórica por ser repleto de razões de ouro nas divisões das linhas da estrela. Para Pitágoras, a razão de ouro era o rei dos números. A razão de ouro parecia provar a afirmação pitagórica da inseparabilidade da música, beleza, arquitetura, natureza e a própria construção do cosmos.

O zero não tinha lugar dentro desse modo de pensar pitagórico. A relação número-forma impediu que os gregos tratassem o zero como número. Afinal, que forma teria o zero? É fácil visualizar um retângulo de comprimento 2 e largura 3, mas um quadrado de lado zero.... Imaginar algo sem altura e comprimento é difícil. Imaginar algo sem área não tem sentido – o que acarretou na conclusão de que a multiplicação por zero também não fazia sentido, pois multiplicar dois números significava calcular a área de um retângulo. Como poderia ser feita essa conta com algo com comprimento zero e largura zero?

Por esse motivo o zero parecia não fazer nenhum sentido geométrico. Em virtude disso, para o incluírem, os gregos deveriam repensar sua forma de fazer matemática. Escolheram não fazer.

Mesmo que fosse um número no sentido grego, tomado numa proporção, o zero desafiaria a natureza. Uma proporção não seria mais uma relação entre dois objetos. A razão de zero por qualquer coisa seria sempre zero. E a razão de qualquer coisa por zero pode destruir a lógica matemática. O zero abriria um buraco na arrumada ordem pitagórica e, por esse motivo, não poderia ser tolerado.

Outra questão que atormentava a doutrina pitagórica eram os números irracionais. Pitágoras pregava que a natureza era regida pelos números racionais. Tudo poderia ser escrito sob a forma de a/b, onde a e b são números de contagem belos e arrumados. Contudo, uma das figuras mais veneradas por Pitágoras e seus seguidores era o quadrado. Associando seus 4 lados aos quatro elementos, simbolizava a perfeição dos números. Todavia, o irracional se fazia presente ao ser traçada a diagonal desta figura. Uma das primeiras demonstrações matemáticas foi a incomensurabilidade da diagonal do quadrado.

Isto significava dificuldades para a doutrina pitagórica. Como poderia a natureza ser governada por razões e proporções se algo tão simples como o quadrado confunde a linguagem das razões? Mas, os pitagóricos sabiam que isto era algo que não poderiam desconsiderar – consequência das leis matemáticas as quais tanto adoravam.

A irracionalidade era perigosa para Pitágoras, uma vez que ameaçava a base de sua razão-universo. Para a desgraça ser total, rapidamente os pitagóricos descobriram que a razão de ouro, o derradeiro símbolo pitagórico de beleza e racionalidade, era um número irracional. Para impedirem que esses números arruinassem a doutrina pitagórica, sua existência foi mantida em sigilo. Contudo, esse sigilo não duraria muito tempo devido as suas ocorrências e recorrências em qualquer construção geométrica.

Mesmo com a morte de Pitágoras, seus ensinamentos perduraram por dois milênios. O zero colidia com essa doutrina e, ao contrário dos irracionais que os gregos tanto relutaram, mas que acabaram mais tarde os aceitando, podia ser ignorado. A dualidade número-forma tornava isso fácil; com efeito, o zero não tinha forma. Logo não podia ser um número.

Porém, não foi o sistema numérico grego e nem a falta de conhecimento acerca do zero que impediram sua aceitação. Foi a filosofia. O zero conflitava com crenças filosóficas fundamentais do ocidente já que no zero, existiam duas idéias perigosas para a doutrina ocidental. A filosofia aristotélica, após seu longo reinado, acabou por ser destruída por esses conceitos. Essas idéias são o vazio e o infinito.

A doutrina pitagórica tornou-se a base principal da filosofia ocidental: todo o universo era regulado por frações e formas; os planetas moviam-se nas esferas celestes, que faziam música quando rodavam. Mas o que está por detrás das esferas? Haviam outras maiores ou a mais externa era o fim do universo? Aristóteles e os filósofos mais recentes insistiam em que não poderia existir um número infinito de esferas celestes uma dentro das outras. Com essa filosofia o ocidente não tinha espaço para a infinidade. Rejeitava-o abertamente. Na verdade, o infinito já tinha começado a corroer a filosofia grega, graças a Zenão de Eléia, o homem mais incômodo do ocidente.

Zenão nasceu por volta de 490 a.C.. Possuía um paradoxo matemático que parecia intratável para o raciocínio lógico grego. Afinal, Zenão havia provado o impossível.

De acordo com Zenão, nada podia se mover. Certamente, a sua afirmação é tola, bastando que alguém ande de um lado para o outro no intuito de negá-la. Contudo, ninguém conseguia encontrar uma falha no argumento de Zenão. Tinha encontrado um quebra-cabeça que atormentou os matemáticos por quase 2000 anos.

No mais famoso paradoxo, “Aquiles”, Zenão prova que o veloz Aquiles nunca consegue apanhar a lenta tartaruga. Coloquemos números no problema para entendermos melhor. Imaginemos que Aquiles corre a 1m/s, enquanto a tartaruga corre a metade dessa velocidade. Além disso, a tartaruga parte a 1 metro de distância à frente de Aquiles.

Aquiles apressa-se e, em 1 segundo, alcança o posto antes ocupado pela tartaruga. Mas, agora, a mesma já se encontra a meio metro na frente. Aquiles, em meio segundo, alcança a posição da tartaruga, que por sua vez já andou ¼ de metro. Em ¼ de segundo, Aquiles a alcança novamente, mas nesse tempo a tartaruga já está a 1/8 de metro distante de Aquiles. Assim sucessivamente. Não importa quão perto da tartaruga chegue Aquiles, pois no instante em que a alcança, esta já se moveu. A distância entre eles vai ficando cada vez menor, mas a tartaruga está sempre à frente.

No mundo real, não há dúvidas. Claramente, Aquiles ultrapassaria a tartaruga. Todavia, o argumento de Zenão parecia provar o contrário. Os filósofos daquela época foram incapazes de refutar o paradoxo, embora soubesse que a conclusão estava errada. A lógica, principal arma dos filósofos, parecia inútil contra o argumento de Zenão. Cada passo desse argumento parecia correto, como a conclusão poderia estar errada?

Os gregos ficaram perplexos, mas encontraram o cerne do problema: a infinidade. Zenão considerou o movimento contínuo e dividiu-o num número infinito de pequenos passos. E por haver infinitos passos, os gregos supuseram que a corrida continuaria para sempre, apesar dos passos se tornarem cada vez menores. Pensavam que a corrida nunca acabaria num tempo finito.

Os antigos não tinham instrumentos para lidarem com o infinito, mas os matemáticos modernos aprenderam a manejá-lo. O infinito pode ser dominado com a ajuda do zero. Equipados com essa matemática avançada, não foi tão difícil encontrar o “calcanhar de Aquiles” de Zenão.

No caso de Aquiles e a tartaruga, ocorreram adições de infinitas parcelas e acabou por obter-se um número finito, já que essas parcelas se aproximavam de zero. Essa aproximação para zero é necessária, mas não é suficiente para mostrarmos que essa soma infinita tendia para um número finito. Realmente, estamos adicionado as parcelas ½, ¼, 1/8, 1/16,... que tendem para zero. Os gregos por rejeitarem o zero não entendiam como essa corrida poderia ter um fim. Para eles, os números ½, ¼, 1/8, 1/16, ... não se aproximavam de coisa alguma: o destino não existe.

Já os matemáticos modernos sabiam que essa seqüência numérica tinha um limite: aproximavam-se de zero como limite. Exatamente esse motivo nos dá margem para dizer que a corrida tem um destino. E que destino é esse? Quanto tempo leva para chegar até o mesmo?

Não é tão difícil percebermos que a soma vai se aproximando do 2 devido às parcelas tenderem para zero. Para sabermos isso, basta fazermos subtrações de cada parcela da seguinte forma:

1 (2 – 1) = 1 ;

2 (1 – ½) = ½ ;

3 (½ - ¼) = ¼ ;

4 (¼ - 1/8) = 1/8 ; .....

Percebemos que a sequência formada pelas distâncias ainda não subtraídas também tendem para zero, o que mostra que essa soma realmente tende para 2.

Isto é, Aquiles percorre 2 metros até alcançar a tartaruga e o faz em 2 segundos.

Os gregos não conseguiram fazer todos esses cálculos matemáticos, pois não tinham o conceito de limite em virtude de não aceitarem o zero. Para os mesmos, as parcelas dessa série infinita não tinham um limite. Ficavam cada vez menores, mas não tinham um fim particular. Como resultado, os gregos não podiam manipular o infinito. Conheciam a existência do vazio, mas desconsideravam o zero como um número e recusavam-se a admitir a infinidade (sejam os números infinitamente pequenos ou os infinitamente grandes). Esta grande falha da matemática grega foi a única coisa que os impediu de descobrirem o cálculo.

O quebra-cabeça de Zenão jamais estaria desatado com a filosofia matemática grega. Afinal, a infinidade, o zero e o conceito de limite estão todos interligados. Com isso, os gregos estavam condenados ao fracasso, desprovidos dos conceitos apropriados. Nem ao menos Zenão tinha a resposta para seu paradoxo, e nem a procurava. Este apenas o servia em sua teoria filosófica de que o movimento era impossível; que mudança e movimento eram paradoxais.

Somado a isso, existia um grande conflito oculto sob a filosofia medieval. O sistema aristotélico era grego, mas a história judaico-cristã era semita (e os semitas não tinham medo do vazio). O próprio ato da criação saía de um vazio caótico, e os teólogos, como Santo Agostinho, que viveram no século IV tentaram explicá-lo de uma maneira satisfatória referindo-se ao estado anterior à criação como “um nada qualquer coisa”, que é o vazio no tocante à forma, mas ainda não é a verdadeira idéia do nada. O medo do vazio era tão grande que os sábios cristãos tentaram ajustar a bíblia de modo a corresponder a Aristóteles, em vez do contrário.

Por sorte, nem todas as civilizações tinham medo do zero.

Até o próximo capítulo.

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quarta-feira, 7 de outubro de 2009

CAPÍTULO 3

O ZERO É NEGADO PELO OCIDENTE






Todo universo filosófico grego apoiava-se na filosofia de Pitágoras e sua importância vinha do paradoxo de Zenão. Nesta filosofia, um pilar era presente: o vazio não existe.


Este universo criado por Pitágoras, Aristóteles e Ptolomeu sobreviveu por muito tempo mesmo após o colapso da civilização grega. Em toda essa criação, o nada não existia, ou seja, o zero não se fazia presente. Contudo, isso causou muitos problemas, pois o avanço da matemática ficou ameaçado, avanços tecnológicos e científicos e o próprio calendário que manteria sua confusão.


Contudo, esta era a filosofia presente no Ocidente. Embora o zero fosse consideravelmente importante, para o Ocidente aceitá-lo os filósofos teriam de destruir seu universo.


Será que era tão complicado assim? Qual seria o envolvimento dos ocidentais com esta filosofia? Tudo tem sua razão.


Nesta filosofia numérica grega, havia um culto, uma irmandade secreta liderada nada mais, nada menos pelo grande Pitágoras. De acordo com os antigos relatos, era nascido no século VI a.C., em Samos, uma ilha grega ao longo da consta da Turquia. Para os supersticiosos gregos antigos, as crenças de Pitágoras eram excêntricas. Acreditavam fielmente que Pitágoras era a reencarnação da alma de Euforbo, um herói de Tróia.


Pitágoras além de um pensador “moderno” para a época era um orador eloqüente, um acadêmico de renome, um professor carismático. Dizia-se ter escrito a constituição para os gregos que viviam na Itália. Como os estudantes afluíam a ele, adquiriu rapidamente uma massa de seguidores que queriam aprender com o mestre. Os chamados “Pitagóricos”.


Os pitagóricos viviam de acordo com as palavras e pensamento do mestre. Entre outros pensamentos de sua filosofia, estava o dogma mais importante: Tudo é número.


Herança da geometria egípcia, a matemática grega não fazia distinção entre formas e números. Tudo era praticamente a mesma coisa. Até hoje ainda sofremos essa influência. Os números quadrados (1, 4, 9, 16,...) e os triangulares. Provar um teorema não necessita exatamente de lápis e papel e sim de régua e compasso. Para Pitágoras, a relação entre números e formas era sagrada e mística. Cada número-forma tinha um significado escondido e os mais belos números-forma eram sagrados.


O símbolo místico do culto pitagórico era exatamente um número-forma: o Pentagrama, uma estrela de cinco pontas. Ligando as diagonais do pentágono, aparece a estrela de cinco pontas invertida, por sua vez com um pentágono igual em proporção no seu interior onde sucessivamente apareciam outras estrelas semelhantes. Por muito interessante que isso possa parecer, a mais importante propriedade do pentagrama estava escondida dentro das linhas da estrela. Estas continham um número-forma que era o derradeiro símbolo da visão pitagórica do universo: a razão de ouro.


A razão de ouro deriva de uma descoberta pitagórica não muito falada nos dias de hoje. Atualmente, apenas o teorema de Pitágoras (“o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”) é comentado pelos professores. Todavia, estas eram notícias velhas, já que o resultado já era conhecido mais de mil anos antes de Pitágoras. Na Grécia, Pitágoras era lembrado por outra invenção: a escala musical.


Diz a lenda que Pitágoras, um dia, estava brincando com um monocórdio, um caixa com uma corda. Movendo-se o travessão para cima ou para baixo, Pitágoras alternava as notas que tocava. Rapidamente descobriu que as notas têm um comportamento peculiar embora previsível. Sem utilizar o travessão, o monocórdio tocava uma nota clara, o Tom Fundamental. Ao colocar o travessão no meio da corda, cada metade tocava o mesmo tom. Colocar o travessão de tal forma a dividir a corda em duas frações não simples gerava tons dissonantes e não agradáveis.


Através dessa filosofia, Pitágoras foi conduzido a um modelo de universo. Argumentava que a Terra era o centro do universo e que os demais astros giravam ao redor dela, cada um fixo numa esfera. Os planetas mais afastados, Júpter e Saturno, moviam-se mais depressa e produziam notas mais agudas. Os mais interiores, como lua, produziam notas mais graves. No conjunto, os planetas em movimento produziam a “harmonia das esferas” e os céus eram uma bela orquestra matemática. Isto significava o que Pitágoras insistia com “Tudo é número”.


Pitagóricos e, mais tarde, matemáticos gregos gastaram muito tempo para investigar as propriedades das razões e verem-nas como chaves para compreender a natureza. Ao final de tudo, categorizaram proporções em dez classes diferentes com nomes como meio harmônico. Um desses meios deu o mais “belo”: a razão de ouro.