terça-feira, 22 de dezembro de 2009

FELIZ NATAL

A equipe da Casa da Matemática deseja a todos um Feliz Natal e um excelente Ano Novo repleto de paz, saúde e muito amor.


terça-feira, 8 de dezembro de 2009

terça-feira, 1 de dezembro de 2009

NÚMERO PRIMO

Definição. Um número primo é um número natural cujos únicos divisores positivos distintos são a unidade e ele mesmo. Chama-se número composto um inteiro maior que 1 que não é primo.
Existem infinitos números primos, e isso foi provado por Euclides ha mais de 2000 anos atrás. Os 10 primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. O número 1 não é nem primo nem composto, e se n é um interiro positivo qualquer ou n é primo, ou é composto, ou n = 1.


O número 2 é o único inteiro par que é primo.


A seguir temos alguns teoremas básicos sobre números primos:


Teorema. Se um primo p não divide um inteiro n, então mdc(p, n) = 1, isto é, p e n são primos entre si.


Proposição. Se um número primo p divide um produto ab então p divide a ou p divide b.
Teorema. Se um número primo p divide um produto de vários fatores, então p divide algum dos fatores.
Teorema. Todo número composto n possui algum divisor primo menor ou igual a raiz quadrada de n.


Existem funções que geram os números primos.



Referências:
Edgard de Alencar Filho. Teoria Elementar dos Números. 3. ed. São Paulo: Nobel, 1989.
Paulo Ribenboim. The New Book of Prime Number Records. 3. ed. New York, Berlin, Heidelberg: Spriger-Verlag, 1995.

segunda-feira, 23 de novembro de 2009

Educação Infantil




A Editora Moderna disponibiliza em seu site diversas atividades voltadas para alunos do Ensino Fundamental I de todas as matérias, inclusive claro, Matemática.

Abaixo seguem alguns links dessas atividades do Projeto Pitanguá

2º ano
3º ano
4º ano (1)
4º ano (2)
5º ano

Se você conhecer mais alguma editora que faça esse trabalho de suporte ao professor, envie-nos para que possamos divulgar.

Deixo bem claro que não há intenção de burlar direitos autorais e nem divulgar indevidamente conteúdos exclusivos. Além disso, não há qualquer tipo de pagamento por propagandas ou qualquer coisa do tipo. Este post é apenas para divulgação de material para professores interessados.

Um abraço

terça-feira, 17 de novembro de 2009

Em homenagem ao Natal que se aproxima, eis uma bela árvore para seus alunos e professores.


1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321


1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111


9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888


1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321


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Um abraço


quinta-feira, 12 de novembro de 2009

Matemática Curiosa

Resposta do Desafio

A resposta do desafio é (42 ; 144 ; 150).


Até a próxima!

sexta-feira, 30 de outubro de 2009

PITÁGORAS

Uma tripla pitagórica é uma terna de números inteiros que satisfaz a relação de Pitágoras. Por exemplo (3 ; 4 ; 5) é uma tripla pitagórica porque 32 + 42 = 52. Existe um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.



Uma tripla pitagórica gera infinitas triplas derivadas. Por exemplo a partir da tripla (3 ; 4 ; 5) pode-se ter (6 ; 8; 10), confira porque 62 + 82 = 102, o triângulo de lados 6, 8 e 10 é retângulo.



Multiplicando os números da tripla por 14 obtém-se (42 ; 56 ; 70) que é uma tripla pitagórica derivada.


Verifique que (7; 24 ; 25) é uma tripla pitagórica e descubra outra tripla derivada em que apareça o número 42.




Não existe uma tripla pitagórica primitiva com o número 42.



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Coloque sua respota nos comentários! Participe!

Um abraço :)

 


quarta-feira, 28 de outubro de 2009

CONCLUSÃO


 
Através desse trabalho, pudemos vivenciar a evolução de um pensamento. A caminhada de uma idéia desde a sua percepção como uma necessidade para um ajuste num sistema criado para descrever as quantidades até sua formalização como algarismo. Certamente, o zero como elemento de contagem nunca seria percebido. Contudo, o aumento da complexidade das necessidades do cotidiano do ser humano acabou por abrir as portas para seu aparecimento.

Suas propriedades, temidas por nossos antigos, se mostraram importantíssimas, pois sem elas, jamais teríamos chegado à indeterminação e, conseqüentemente, nunca teríamos construído o cálculo tão necessário nos dias de hoje para inúmeras carreiras.

Portanto, com essa monografia, podemos exaltar o valor que realmente o zero tem. Afinal, por que buscamos a história do zero? Por que ele causou tantos problemas? Por que o número 2 não causou tantos embaraços? Por que nenhum outro número causou tantos desconfortos? Por que o zero?

Essas perguntas baseadas em nosso trabalho só demonstram sua real importância.

Esta foi a história do número zero. Acredito que muitos não sabiam a verdadeira saga pela qual o número passou. Foi uma luta, mas hoje sua utilização é fundamental.

Esta foi uma contribuição da Casa da Matemática para o ensino e divulgação da História da Matemática.

Se você gostou da história, dê sua opinião logo aqui embaixo.

Um abraço e até a próxima postagem.

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sexta-feira, 23 de outubro de 2009

CAPÍTULO 5


O TRIUNFO DO ZERO






A rejeição do zero pelo cristianismo foi breve. Leonardo de pisa, mais conhecido como Fibonacci, era filho de um comerciante italiano. Viajou pelo Norte da África. Aprendeu matemática com os muçulmanos e, rapidamente, se tornou um bom matemático. Foi esse o homem responsável pela reintrodução do zero no ocidente.


Fibonacci é mais conhecido por um pequeno problema que expôs no seu livro Liber Abaci, publicado em 1202. Eis o problema: Imaginemos que um agricultor tenha um par de coelhos bebês. Os coelhos demoram 2 meses para atingir a maturidade e partir daí geram outro par de coelhos no início de cada mês. A medida que esses coelhos atingem a maturidade e se reproduzem e esses outros coelhos atingem a maturidade e se reproduzem e assim sucessivamente, quantos pares de coelhos teremos num determinado mês?


O problema, então, se desenvolve da seguinte forma: no 1º mês, há um par de coelhos que não se reproduzem por não terem atingido a maturidade.


No 2º mês, ainda temos um par pelo mesmo motivo do 1º mês.


No início do terceiro mês, esse par de coelhos se reproduz: temos 2 pares.


No 4º mês, o primeiro par de coelhos se reproduz novamente, mas o segundo par ainda não atingiu a maturidade: estamos com 3 pares.


No quinto mês, o primeiro par se reproduz de novo e o 2º também, mas o 3º ainda não atingiu a maturidade: estamos com 5 pares de coelhos.


Assim por diante, o número de pares de coelhos se desenvolve desta forma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..... O número de pares coelhos que temos num determinado mês é a soma da quantidade de pares que tínhamos nos dois meses anteriores.


Rapidamente, os matemáticos perceberam algo nesta série. O considerar qualquer termo dividido pelo anterior, como por exemplo 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,61538....; notaram que essas frações se aproximam de um número muito interessante: a razão de ouro (1,61803....).


Pitágoras havia percebido que a natureza parecia ser governada pela razão de ouro e Fibonacci descobriu a sequência que é responsável por esse número. Isso é até os dias de hoje o motivo de sua fama.


Apesar disso, seu livro Liber Abaci tinha um objetivo mais importante do que cuidar da criação de animais. Como Fibonacci aprendera matemática com os muçulmanos, os números árabes estavam presentes em seu conhecimento, juntamente com o zero. Ao incluir o novo sistema em seu livro, acabou, finalmente, introduzindo o zero na Europa. O livro mostrava como os números árabes eram úteis para fazer cálculos complicados, o que despertou o interesse de mercadores e banqueiros italianos. Rapidamente, incorporaram esse novo sistema, com o zero incluído. Afinal, antes dos números árabes chegarem, os caixeiros utilizavam o ábaco ou um quadro de contas, chamado pelos alemães de Rechenbank, razão pela qual chamamos bancos a quem nos empresta dinheiro.


No entanto, os governos locais não viam com bons olhos os números árabes, apesar de sua grande aceitação por parte dos comerciantes. Em 1299, Florença aboliu os números árabes. A razão invocada era a de que esse números poderiam ser facilmente alterados (por exemplo o 0, zero, poderia se transformar em 6 num simples esbarrar de lápis). Mas, as vantagens do zero e dos outros números árabes não poderiam ser descartadas; os mercadores continuaram a usá-los, sobretudo para mandarem mensagens codificadas.


Mediante tal pressão, os governos tiveram que ceder. A notação árabe foi autorizada na Itália e rapidamente se espalhou pela Europa. O zero chegara, tal como o vazio.


A muralha aristotélica estava a desagregar-se graças às influências árabes e hindus e no século XV, mesmo os mais leais defensores do aristotelismos já tinha suas dúvidas. Todavia, a batalha contra Aristóteles estava longe de ser terminada. Se Aristóteles caía, vinha junto a demonstração de Deus – um baluarte da Igreja. Então, uma nova demonstração era necessária.


E ainda, se o universo é infinito, então não existe um centro. Logo, como pode a Terra ser o centro do Universo?


René Descartes, nascido em 1596, no centro de Roma, foi educado como jesuíta. Trouxe o zero para o centro da linha numérica e procuraria uma demonstração de Deus no vazio e no infinito, mesmo não rejeitando completamente Aristóteles. Descartes, matemático-filósofo cujo legado mais famoso fora sua invenção matemática daquilo que hoje chamamos coordenadas cartesianas, tinha medo do vazio. Por esse motivo, negou sua existência.


Descartes demonstrou a existência de Deus argumentando que nada em absoluto pode se originar do nada. Isto é, todas as idéias já existem no cérebro das pessoas quando nascem. Aprender é apenas o processo de descobrir o código de leis, sobre o funcionamento do universo, previamente impresso. Uma vez que o conceito de algo infinitamente perfeito estava presente nas nossas mentes, esse algo deve existir – Deus. Todos o seres não chegam a ser divinos: são finitos. Todos se situam entre Deus e o nada. Uma combinação de infinito e vazio.


Certamente essa foi uma das demonstrações da existência de Deus feita por matemáticos da época. Diversos outros tentaram argumentando cada qual da sua maneira. Pascal com a teoria das probabilidades, Leibniz com os números binários, Guido Grandi, um sacerdote italiano, com séries de infinitos zeros, e diversos outros mais.


No tocante ao universo, as teorias que unificaram a mecânica quântica e a relatividade geral, que descrevem o centro dos buracos negros e explicam a singularidade do Big Bang estão tão longe da experiência que pode ser impossível determinar quais estão corretas e quais não estão. Os argumentos de cosmólogos e teólogos de cordas pode ser matematicamente precisos e ao mesmo tempo ser tão inúteis quanto a filosofia de Pitágoras. As suas teorias matemáticas podem ser belas e consistentes, podem parecer explicar a natureza do universo, e estar absolutamente erradas.


Os cientistas, hoje, apenas sabem que o cosmos brotou do nada e retornará ao nada donde veio. O universo começa e acaba com o zero.

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domingo, 18 de outubro de 2009

CAPÍTULO 4 - O ZERO NO ORIENTE


Na última vez que vimos o zero no Oriente, era apenas um “marca-lugar”. Um espaço em branco no sistema de numeração babilônico. Sua utilidade era inegável, embora ainda sem um valor numérico por si próprio. O zero só ganhava significado quando havia dígitos à sua esquerda. Em outras palavras, o símbolo do zero não significava nada por si próprio. Porém, foi na Índia que tudo mudou.


No século IV a.C., Alexandre magno, marchou com suas tropas da babilônia até a Índia, provavelmente levando o zero consigo. Através desta invasão, matemáticos indianos tiveram contato pela primeira vez com o sistema numérico babilônico e, conseqüentemente, com o zero.


Após a morte de Alexandre Magno, em 323 a.C., os seus desordeiros generais dividiram o império em pedaços. Como resultado, a Índia ficou isolada da ascensão do cristianismo e da queda de Roma. Além disso, também ficou isolada da filosofia aristotélica. Na verdade, Alexandre foi ensinado por Aristóteles e também, certamente, introduziu as idéias aristotélicas na Índia. Contudo, estas não vingaram, e por uma razão particular que diferenciava a Índia da Grécia: a aceitação do vazio e do infinito.


O vazio tinha um valor importante na religião hindu. Como muitas religiões orientais, o Hinduísmo estava inserido em simbologias de dualidades. Tal como o Yin Yang do Extremo Oriente, a criação e a destruição estavam misturadas no Hinduísmo. O Deus Xiva, que era tanto criador quanto destruidor do mundo, era representado com o tambor da criação numa mão e a chama da destruição na outra. No entanto, Xiva também representava o nada. Um aspecto da divindade Nishkala Shiva era literalmente Xiva “sem partes”. Era o supremo nada a falta de vida encarnada. Mas a partir do vazio nasceu o universo, assim como o infinito. O cosmos hindu era infinito em expansão; havia inumeráveis outros universos. A própria doutrina hinduísta pregava o início da vida a partir do nada e o fim de tudo voltando para o nada.


Portanto, a Índia, como uma sociedade que explorava ativamente o vazio e o infinito, aceitou o zero.


Um texto indiano datado do mesmo ano da queda de Roma – 476 a.C. – mostra a influência da matemática grega, egípcia e babilônica na Índia, trazida por Alexandre. Como os egípcios, os indianos tinham “esticadores de corda” para planear templos e inspecionar terrenos. Tal como os gregos, possuíam um complicado sistema de astronomia. Tentaram até calcular a distância ao Sol, o que requeria trigonometria, cuja versão indiana provavelmente derivou do sistema que os gregos haviam desenvolvido.


Por volta do século V d.C., os matemáticos indianos alteraram o seu estilo de numeração mudando de um sistema estilo grego, para outro do estilo babilônico. Porém, os indianos não copiaram o sistema babilônico, pois havia uma grande diferença entre ambos: o sistema indiano era de base 10 enquanto que o babilônico era de base 60. Nosso números desenvolveram-se a partir dos símbolos usados pelos indianos. Não se sabe ao certo o momento exato que os indianos fizeram a troca para um sistema posicional do estilo babilônico. De qualquer forma, já pelo século IX, estava, certamente, em uso um símbolo para o zero – o “marca-lugar” do sistema decimal.


Os indianos nunca se apropriaram da geometria grega. Nunca se preocuparam em saber se a diagonal do quadrado é racional ou irracional e nem investigaram as secções cônicas, como o tinha feito Arquimedes. Mas aprenderam a brincar com os números.


O sistema indiano de numeração permitia-lhes usar estratégias para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números sem o uso do ábaco. Graças ao sistema posicional, conseguiram somar e subtrair números grandes similarmente ao jeito que realizamos atualmente. Com treino, era possível multiplicar números mais velozmente que um abacista conseguia calcular. Até concursos entre algoristas e abacistas se tornaram um grande desafio, onde, no final, os algoristas sempre ganhavam.


Contudo, o grande salto do sistema indiano não foi a bela capacidade e utilidade de fazer adições e multiplicações. A grande diferença estava na distinção entre números e geometria. O contrário do gregos, os indianos não viam quadrados em números quadrados e nem áreas de retângulos ao se multiplicar dois números. Em vez disso, viam o jogo recíproco dos algarismos que não mais traziam consigo um significado geométrico. Isto foi o nascimento daquilo que hoje chamamos de álgebra.


Esta atitude acabou impedindo que os indianos dessem uma contribuição importante para a geometria, mas isso permitiu-lhes libertar-se das deficiências do pensamento grego e da sua rejeição do zero.


Uma vez que o significado geométrico foi afastado dos algarismos, os matemáticos só tinham que se preocupar com as operações matemáticas fazerem sentido também para a geometria. Afinal, para os antigos gregos, 2 – 3 = -1 não fazia o menor sentido, já que não tem cabimento tirar 3 hectares de um terreno de apenas 2 hectares.


Já para os indianos, os números negativos tinham sentido. De fato, foi na Índia (e na China) que os números negativos apareceram primeiro.; Bramagupta, matemático indiano do século VII, ditou regras para dividir números uns pelos outros, incluindo os negativos. “Positivo a dividir por positivo e negativo por negativo, é afirmativo.”; ”Positivo a dividir por negativo é negativo.”. Regras que conhecemos hoje.


Tal como 2 – 3 = -1 era um número que fazia sentido, 2 – 2 = 0 também fazia sentido. Não só mais como um “marca-lugar” ou uma representação de um espaço vazio no ábaco mas fazia sentido como número; o número zero. Número que tinha seu valor específico e lugar fixo na linha numérica. Uma vez que o zero era igual a (2 – 2), então tinha de vir anteriormente a (2 – 1) e posteriormente a (2 – 3). o zero não poderia mais vir depois do 9, tal como vemos nos teclados de computador. O zero tinha sua posição na linha numérica e, sem ele, esta linha não poderia existir, tal como um sistema sem o 2, por exemplo. O zero finalmente chegara.


No entanto, os indianos achavam que o zero era um número muito bizarro. Afinal, zero multiplicado por qualquer número é zero e qualquer número dividido por zero joga tudo pelos ares. Bramagupta tentou calcular quanto era 0÷0 e 1 ÷ 0, e escreveu que 0 ÷ 0 = 0 e que 1 ÷ 0 era, bem...., algo que não se sabe ao certo porque não faz o menor sentido.


O erro de Bramagupta não perdurou por muito tempo. Os indianos logo perceberam que 1 ÷ 0 era infinito. O matemático indiano no século XII, Bháskara escreveu: “esta fração cujo denominador é zero, é designada por uma quantidade infinita.”; “Ao adicionarmos um número a 1 ÷ 0 , não há qualquer alteração, embora possam ser extraídas ou inseridas muitas, tal como nenhuma alteração tem lugar no Deus infinito e imutável.”


Deus, portanto, foi encontrado no infinito, e no zero.


O zero era o emblema dos novos ensinamentos, da rejeição de Aristóteles e da aceitação do vazio e do infinito. Por todo o mundo, sob o domínio muçulmano, o zero difundia-se à medida que o Islão se expandia, conflitando por todo o lado com a doutrina aristotélica.


Os antigos judeus medievais, tanto na Espanha quanto na Babilônia estavam firmemente ligados à doutrina aristotélica, tal como seis companheiros cristãos. Todavia, da mesma forma que a filosofia aristotélica entrava em conflito com seus ensinamentos islâmicos, também entrava em conflito com a teologia judaica. Isto levou Maimónides, rabi do século XII, a escrever um tomo para reconciliar a Bíblia oriental e semita com a filosofia ocidental grega que permeava a Europa.


Maimónides aprendera com Aristóteles a demonstrar a existência de Deus negando o infinito, reproduzindo fielmente os argumento gregos. Essa demonstração da existência de Deus era algo de grande valor em qualquer teologia. Ao mesmo tempo, a Bíblia e outras tradições semitas estavam repletas de idéias do infinito e do vazio – idéias que os muçulmanos já entendiam. Tal como Santo Agostinho, 800 anos antes, Maimónides tentou reformular a Bíblia semita para se ajustar à doutrina grega: a doutrina que se apavorava com a idéia do vazio. Todavia, Maimónides, ao contrário dos outros cristãos, não estava disposto a helenizar completamente sua religião. A tradição do Rabi forçou-o a aceitar os relatos bíblicos acerca da criação do mundo a partir do vazio, o que, por sua vez, significava contradizer Aristóteles.


Maimónides argumentou que havia falhas na demonstração aristotélica de que o universo sempre existiu, pois entrava em conflito com as Escrituras. Isto significava recusar Aristóteles. Maimónides afirmou que o ato da criação veio do nada. Com isso, o vazio passou de sacrilégio a sagrado.


Em 1277, o bispo de Paris, Étienne Tempier, convocou uma assembléia de eruditos para discutir aristotelismo, ou melhor, para o atacar. A onipotência de Deus era o maior ponto, não a ser discutido, mas a ser relacionado com as idéias de Aristóteles. Tempier aboliu muitas das doutrinas que contradiziam a onipotência divina, tal como: “Deus não pode mover os céus em linha reta, pois deixaria para trás um vácuo”. (As esferas rotativas ao girarem, estariam ocupando o mesmo espaço. Para mover as esferas em linha reta, era necessário um espaço vazio para onde as esferas se dirigiriam e outro espaço vazio deixado por elas após se movimentarem). Deus, se quisesse, poderia mover os céus em linha reta, pois a divindade onipotente não era obrigada a seguir as regras aristotélicas.


Esse era o momento mais propício para o zero chegar ao ocidente. Em meados do século XII, algumas adaptações de publicações matemáticas árabes já caminhavam pela Espanha, Inglaterra e o resto da Europa. O zero estava a caminho e chegou exatamente no momento em que a Igreja quebrava algumas algemas do aristotelismo.

terça-feira, 13 de outubro de 2009

Continuação...

Obter esse número era uma questão de dividir a linha de uma maneira especial: dividi-la em duas partes de modo que a razão da parte menor esteja para a parte maior assim como a maior para o todo, isto é:


Como 1 - V5 não é positivo, não fazia sentido para os gregos. Então,
é a razão de ouro.

Em palavras, figuras impregnadas de razão de ouro parecem mais agradáveis e mais belas. Ainda hoje, artistas e arquitetos utilizam intuitivamente a razão de ouro em seus projetos por saberem de suas qualidades estéticas. Mesmo a natureza parece ter a razão de ouro em seus projetos.


O pentagrama tornou-se o símbolo mais sagrado da irmandade pitagórica por ser repleto de razões de ouro nas divisões das linhas da estrela. Para Pitágoras, a razão de ouro era o rei dos números. A razão de ouro parecia provar a afirmação pitagórica da inseparabilidade da música, beleza, arquitetura, natureza e a própria construção do cosmos.

O zero não tinha lugar dentro desse modo de pensar pitagórico. A relação número-forma impediu que os gregos tratassem o zero como número. Afinal, que forma teria o zero? É fácil visualizar um retângulo de comprimento 2 e largura 3, mas um quadrado de lado zero.... Imaginar algo sem altura e comprimento é difícil. Imaginar algo sem área não tem sentido – o que acarretou na conclusão de que a multiplicação por zero também não fazia sentido, pois multiplicar dois números significava calcular a área de um retângulo. Como poderia ser feita essa conta com algo com comprimento zero e largura zero?

Por esse motivo o zero parecia não fazer nenhum sentido geométrico. Em virtude disso, para o incluírem, os gregos deveriam repensar sua forma de fazer matemática. Escolheram não fazer.

Mesmo que fosse um número no sentido grego, tomado numa proporção, o zero desafiaria a natureza. Uma proporção não seria mais uma relação entre dois objetos. A razão de zero por qualquer coisa seria sempre zero. E a razão de qualquer coisa por zero pode destruir a lógica matemática. O zero abriria um buraco na arrumada ordem pitagórica e, por esse motivo, não poderia ser tolerado.

Outra questão que atormentava a doutrina pitagórica eram os números irracionais. Pitágoras pregava que a natureza era regida pelos números racionais. Tudo poderia ser escrito sob a forma de a/b, onde a e b são números de contagem belos e arrumados. Contudo, uma das figuras mais veneradas por Pitágoras e seus seguidores era o quadrado. Associando seus 4 lados aos quatro elementos, simbolizava a perfeição dos números. Todavia, o irracional se fazia presente ao ser traçada a diagonal desta figura. Uma das primeiras demonstrações matemáticas foi a incomensurabilidade da diagonal do quadrado.

Isto significava dificuldades para a doutrina pitagórica. Como poderia a natureza ser governada por razões e proporções se algo tão simples como o quadrado confunde a linguagem das razões? Mas, os pitagóricos sabiam que isto era algo que não poderiam desconsiderar – consequência das leis matemáticas as quais tanto adoravam.

A irracionalidade era perigosa para Pitágoras, uma vez que ameaçava a base de sua razão-universo. Para a desgraça ser total, rapidamente os pitagóricos descobriram que a razão de ouro, o derradeiro símbolo pitagórico de beleza e racionalidade, era um número irracional. Para impedirem que esses números arruinassem a doutrina pitagórica, sua existência foi mantida em sigilo. Contudo, esse sigilo não duraria muito tempo devido as suas ocorrências e recorrências em qualquer construção geométrica.

Mesmo com a morte de Pitágoras, seus ensinamentos perduraram por dois milênios. O zero colidia com essa doutrina e, ao contrário dos irracionais que os gregos tanto relutaram, mas que acabaram mais tarde os aceitando, podia ser ignorado. A dualidade número-forma tornava isso fácil; com efeito, o zero não tinha forma. Logo não podia ser um número.

Porém, não foi o sistema numérico grego e nem a falta de conhecimento acerca do zero que impediram sua aceitação. Foi a filosofia. O zero conflitava com crenças filosóficas fundamentais do ocidente já que no zero, existiam duas idéias perigosas para a doutrina ocidental. A filosofia aristotélica, após seu longo reinado, acabou por ser destruída por esses conceitos. Essas idéias são o vazio e o infinito.

A doutrina pitagórica tornou-se a base principal da filosofia ocidental: todo o universo era regulado por frações e formas; os planetas moviam-se nas esferas celestes, que faziam música quando rodavam. Mas o que está por detrás das esferas? Haviam outras maiores ou a mais externa era o fim do universo? Aristóteles e os filósofos mais recentes insistiam em que não poderia existir um número infinito de esferas celestes uma dentro das outras. Com essa filosofia o ocidente não tinha espaço para a infinidade. Rejeitava-o abertamente. Na verdade, o infinito já tinha começado a corroer a filosofia grega, graças a Zenão de Eléia, o homem mais incômodo do ocidente.

Zenão nasceu por volta de 490 a.C.. Possuía um paradoxo matemático que parecia intratável para o raciocínio lógico grego. Afinal, Zenão havia provado o impossível.

De acordo com Zenão, nada podia se mover. Certamente, a sua afirmação é tola, bastando que alguém ande de um lado para o outro no intuito de negá-la. Contudo, ninguém conseguia encontrar uma falha no argumento de Zenão. Tinha encontrado um quebra-cabeça que atormentou os matemáticos por quase 2000 anos.

No mais famoso paradoxo, “Aquiles”, Zenão prova que o veloz Aquiles nunca consegue apanhar a lenta tartaruga. Coloquemos números no problema para entendermos melhor. Imaginemos que Aquiles corre a 1m/s, enquanto a tartaruga corre a metade dessa velocidade. Além disso, a tartaruga parte a 1 metro de distância à frente de Aquiles.

Aquiles apressa-se e, em 1 segundo, alcança o posto antes ocupado pela tartaruga. Mas, agora, a mesma já se encontra a meio metro na frente. Aquiles, em meio segundo, alcança a posição da tartaruga, que por sua vez já andou ¼ de metro. Em ¼ de segundo, Aquiles a alcança novamente, mas nesse tempo a tartaruga já está a 1/8 de metro distante de Aquiles. Assim sucessivamente. Não importa quão perto da tartaruga chegue Aquiles, pois no instante em que a alcança, esta já se moveu. A distância entre eles vai ficando cada vez menor, mas a tartaruga está sempre à frente.

No mundo real, não há dúvidas. Claramente, Aquiles ultrapassaria a tartaruga. Todavia, o argumento de Zenão parecia provar o contrário. Os filósofos daquela época foram incapazes de refutar o paradoxo, embora soubesse que a conclusão estava errada. A lógica, principal arma dos filósofos, parecia inútil contra o argumento de Zenão. Cada passo desse argumento parecia correto, como a conclusão poderia estar errada?

Os gregos ficaram perplexos, mas encontraram o cerne do problema: a infinidade. Zenão considerou o movimento contínuo e dividiu-o num número infinito de pequenos passos. E por haver infinitos passos, os gregos supuseram que a corrida continuaria para sempre, apesar dos passos se tornarem cada vez menores. Pensavam que a corrida nunca acabaria num tempo finito.

Os antigos não tinham instrumentos para lidarem com o infinito, mas os matemáticos modernos aprenderam a manejá-lo. O infinito pode ser dominado com a ajuda do zero. Equipados com essa matemática avançada, não foi tão difícil encontrar o “calcanhar de Aquiles” de Zenão.

No caso de Aquiles e a tartaruga, ocorreram adições de infinitas parcelas e acabou por obter-se um número finito, já que essas parcelas se aproximavam de zero. Essa aproximação para zero é necessária, mas não é suficiente para mostrarmos que essa soma infinita tendia para um número finito. Realmente, estamos adicionado as parcelas ½, ¼, 1/8, 1/16,... que tendem para zero. Os gregos por rejeitarem o zero não entendiam como essa corrida poderia ter um fim. Para eles, os números ½, ¼, 1/8, 1/16, ... não se aproximavam de coisa alguma: o destino não existe.

Já os matemáticos modernos sabiam que essa seqüência numérica tinha um limite: aproximavam-se de zero como limite. Exatamente esse motivo nos dá margem para dizer que a corrida tem um destino. E que destino é esse? Quanto tempo leva para chegar até o mesmo?

Não é tão difícil percebermos que a soma vai se aproximando do 2 devido às parcelas tenderem para zero. Para sabermos isso, basta fazermos subtrações de cada parcela da seguinte forma:

1 (2 – 1) = 1 ;

2 (1 – ½) = ½ ;

3 (½ - ¼) = ¼ ;

4 (¼ - 1/8) = 1/8 ; .....

Percebemos que a sequência formada pelas distâncias ainda não subtraídas também tendem para zero, o que mostra que essa soma realmente tende para 2.

Isto é, Aquiles percorre 2 metros até alcançar a tartaruga e o faz em 2 segundos.

Os gregos não conseguiram fazer todos esses cálculos matemáticos, pois não tinham o conceito de limite em virtude de não aceitarem o zero. Para os mesmos, as parcelas dessa série infinita não tinham um limite. Ficavam cada vez menores, mas não tinham um fim particular. Como resultado, os gregos não podiam manipular o infinito. Conheciam a existência do vazio, mas desconsideravam o zero como um número e recusavam-se a admitir a infinidade (sejam os números infinitamente pequenos ou os infinitamente grandes). Esta grande falha da matemática grega foi a única coisa que os impediu de descobrirem o cálculo.

O quebra-cabeça de Zenão jamais estaria desatado com a filosofia matemática grega. Afinal, a infinidade, o zero e o conceito de limite estão todos interligados. Com isso, os gregos estavam condenados ao fracasso, desprovidos dos conceitos apropriados. Nem ao menos Zenão tinha a resposta para seu paradoxo, e nem a procurava. Este apenas o servia em sua teoria filosófica de que o movimento era impossível; que mudança e movimento eram paradoxais.

Somado a isso, existia um grande conflito oculto sob a filosofia medieval. O sistema aristotélico era grego, mas a história judaico-cristã era semita (e os semitas não tinham medo do vazio). O próprio ato da criação saía de um vazio caótico, e os teólogos, como Santo Agostinho, que viveram no século IV tentaram explicá-lo de uma maneira satisfatória referindo-se ao estado anterior à criação como “um nada qualquer coisa”, que é o vazio no tocante à forma, mas ainda não é a verdadeira idéia do nada. O medo do vazio era tão grande que os sábios cristãos tentaram ajustar a bíblia de modo a corresponder a Aristóteles, em vez do contrário.

Por sorte, nem todas as civilizações tinham medo do zero.

Até o próximo capítulo.

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quarta-feira, 7 de outubro de 2009

CAPÍTULO 3

O ZERO É NEGADO PELO OCIDENTE






Todo universo filosófico grego apoiava-se na filosofia de Pitágoras e sua importância vinha do paradoxo de Zenão. Nesta filosofia, um pilar era presente: o vazio não existe.


Este universo criado por Pitágoras, Aristóteles e Ptolomeu sobreviveu por muito tempo mesmo após o colapso da civilização grega. Em toda essa criação, o nada não existia, ou seja, o zero não se fazia presente. Contudo, isso causou muitos problemas, pois o avanço da matemática ficou ameaçado, avanços tecnológicos e científicos e o próprio calendário que manteria sua confusão.


Contudo, esta era a filosofia presente no Ocidente. Embora o zero fosse consideravelmente importante, para o Ocidente aceitá-lo os filósofos teriam de destruir seu universo.


Será que era tão complicado assim? Qual seria o envolvimento dos ocidentais com esta filosofia? Tudo tem sua razão.


Nesta filosofia numérica grega, havia um culto, uma irmandade secreta liderada nada mais, nada menos pelo grande Pitágoras. De acordo com os antigos relatos, era nascido no século VI a.C., em Samos, uma ilha grega ao longo da consta da Turquia. Para os supersticiosos gregos antigos, as crenças de Pitágoras eram excêntricas. Acreditavam fielmente que Pitágoras era a reencarnação da alma de Euforbo, um herói de Tróia.


Pitágoras além de um pensador “moderno” para a época era um orador eloqüente, um acadêmico de renome, um professor carismático. Dizia-se ter escrito a constituição para os gregos que viviam na Itália. Como os estudantes afluíam a ele, adquiriu rapidamente uma massa de seguidores que queriam aprender com o mestre. Os chamados “Pitagóricos”.


Os pitagóricos viviam de acordo com as palavras e pensamento do mestre. Entre outros pensamentos de sua filosofia, estava o dogma mais importante: Tudo é número.


Herança da geometria egípcia, a matemática grega não fazia distinção entre formas e números. Tudo era praticamente a mesma coisa. Até hoje ainda sofremos essa influência. Os números quadrados (1, 4, 9, 16,...) e os triangulares. Provar um teorema não necessita exatamente de lápis e papel e sim de régua e compasso. Para Pitágoras, a relação entre números e formas era sagrada e mística. Cada número-forma tinha um significado escondido e os mais belos números-forma eram sagrados.


O símbolo místico do culto pitagórico era exatamente um número-forma: o Pentagrama, uma estrela de cinco pontas. Ligando as diagonais do pentágono, aparece a estrela de cinco pontas invertida, por sua vez com um pentágono igual em proporção no seu interior onde sucessivamente apareciam outras estrelas semelhantes. Por muito interessante que isso possa parecer, a mais importante propriedade do pentagrama estava escondida dentro das linhas da estrela. Estas continham um número-forma que era o derradeiro símbolo da visão pitagórica do universo: a razão de ouro.


A razão de ouro deriva de uma descoberta pitagórica não muito falada nos dias de hoje. Atualmente, apenas o teorema de Pitágoras (“o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”) é comentado pelos professores. Todavia, estas eram notícias velhas, já que o resultado já era conhecido mais de mil anos antes de Pitágoras. Na Grécia, Pitágoras era lembrado por outra invenção: a escala musical.


Diz a lenda que Pitágoras, um dia, estava brincando com um monocórdio, um caixa com uma corda. Movendo-se o travessão para cima ou para baixo, Pitágoras alternava as notas que tocava. Rapidamente descobriu que as notas têm um comportamento peculiar embora previsível. Sem utilizar o travessão, o monocórdio tocava uma nota clara, o Tom Fundamental. Ao colocar o travessão no meio da corda, cada metade tocava o mesmo tom. Colocar o travessão de tal forma a dividir a corda em duas frações não simples gerava tons dissonantes e não agradáveis.


Através dessa filosofia, Pitágoras foi conduzido a um modelo de universo. Argumentava que a Terra era o centro do universo e que os demais astros giravam ao redor dela, cada um fixo numa esfera. Os planetas mais afastados, Júpter e Saturno, moviam-se mais depressa e produziam notas mais agudas. Os mais interiores, como lua, produziam notas mais graves. No conjunto, os planetas em movimento produziam a “harmonia das esferas” e os céus eram uma bela orquestra matemática. Isto significava o que Pitágoras insistia com “Tudo é número”.


Pitagóricos e, mais tarde, matemáticos gregos gastaram muito tempo para investigar as propriedades das razões e verem-nas como chaves para compreender a natureza. Ao final de tudo, categorizaram proporções em dez classes diferentes com nomes como meio harmônico. Um desses meios deu o mais “belo”: a razão de ouro.

quarta-feira, 30 de setembro de 2009

2.3 – O MEDO DO ZERO E SUAS PECULIARES PROPRIEDADES


Na matemática, a falta do zero na civilização egípcia foi muito prejudicial. Os egípcios lidavam com as frações, por exemplo, ¾ como a soma de ½ e ¼ , e não como a razão de 3 para 4 como vemos hoje. De fato, viam todas as frações como a soma de outras duas da forma 1/n (n inteiro, diferente de zero) – chamadas frações unitárias. Isso tornava o manuseio das frações no sistema egípcio (e grego) muito difícil. Com o zero, esse sistema torna-se obsoleto. Assim, no sistema babilônio, escrevia-se ¾ e ½ como 0,45 e 0,30, que representavam estas frações no sistema de base 60, respectivamente.

Contudo, tanto gregos como romanos mantiveram suas anotações do tipo egípcia ao invés de se converterem ao sistema babilônio. Entre gregos, isto aconteceu porque eles detestavam lidar com problemas relacionados ao infinito que apresentavam o seu contra-ponto no zero. Embora entendessem a utilidade desse número, esse sentimento tinha uma razão: o zero era perigoso, pois assim como o infinito, conduzia ao estudo de questões com implicações perigosas para a lógica e filosofia gregas.

Pode até parecer estranho ter medo de um número, mas o zero estava ligado intimamente com o vazio. Havia um medo primário do vazio e do caos. Os povos mais antigos acreditavam que, antes do universo se formar, apenas existiam o vazio e o caos. Os gregos preocupavam-se com isso, pois toda a sua filosofia era destinada a explicar o lugar do homem no universo, a ordenar o caos e a impedir que a desordem e o vazio reinassem mais uma vez, como no início dos tempos. O zero representava esse vazio.

Esse medo, porém, não se limitou apenas a uma questão filosófica complicada acerca do vazio. Repare que as propriedades numéricas do zero, relatadas a seguir, são completamente diferentes das propriedades dos outros números e, de certa maneira, contradizem a lógica comum. Para os antigos, as propriedades matemáticas do zero eram inexplicáveis e tão misteriosas como o surgimento do universo.

No sistema babilônico, o zero era o único dígito que não poderia ficar sozinho, por um bom motivo. O zero sozinho não se porta bem. Se adicionarmos um número a si mesmo, este, necessariamente, terá o seu valor alterado, isto é, um e um não é um – são dois; dois e dois são quatro. Mas zero e zero é zero. Este resultado viola o princípio básico dos números, chamado Princípio de Arquimedes que diz que, se adicionarmos uma quantidade a si própria um número de vezes suficiente, o resultado excederá em magnitude qualquer outro número. O zero recusa-se a ficar maior. Também recusa-se a tornar qualquer outro número maior. Se adicionarmos dois a zero, obteremos dois. O mesmo ocorre com a subtração. Ou seja, o zero não tem substância, porém, mesmo sendo insubstancial, ameaça minar outras operações fundamentais da matemática – a multiplicação e a divisão.

Na reta numérica, isto é, na representação geométrica dos números reais, a multiplicação pode ser entendida como um alongamento. Observemos a figura. É como se a linha numérica fosse um elástico com marcas. Multiplicar por 2 pode ser pensado como esticar o elástico por um fator 2 (a marca que estava no 1 agora está no 2). igualmente multiplicar por ½ é relaxar o elástico: a marca que estava no 2 agora está no 1, mas o que acontece quando se multiplica por zero? Qualquer coisa vezes é zero! Neste caso, todas as marcas se acumulam no zero! O elástico parte-se! A linha numérica colapsa!

Não existe maneira de corrigir esse desagradável acontecimento, motivado por uma propriedade do nosso sistema numérico: a propriedade DISTRIBUTIVA, que pode ser melhor entendida através do exemplo a seguir.

Uma loja vende pacotes com 3 cadernos e pacotes com 2 canetas. A loja ao lado vende um único tipo de pacote contendo 3 cadernos e 2 canetas. Logo, um pacote de cada tipo na primeira loja equivale a um pacotão da segunda loja. Com isso, comprar 5 pacotes de cada tipo na primeira loja é o mesmo que comprar 5 pacotões da segunda loja. Matematicamente: 5 x (2 + 3) = 5 x 2 + 5 x 3. Nenhuma novidade.

Ao aplicarmos esta propriedade ao zero, algo estranho acontece. Sabemos que 0 + 0 = 0. Portanto, multiplicar um número por zero é o mesmo que por (0 + 0). Assim, a x 0 = a x (0 + 0). Isto é, a x 0 = a x 0 + a x 0. Subtraindo-se a x 0 de cada lado, temos que 0 = a x 0. Acabamos de provar que qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Desta forma, este número reduz a reta numérica a um único ponto. Pode já estar parecendo que o zero é um número irritante, mas seu verdadeiro poder reside na divisão.

Todos sabemos que a operação inversa da multiplicação é a divisão. Isto é, tudo que a multiplicação faz, a divisão desfaz. Desse modo, como vimos que multiplicar por zero destrói a linha numérica, dividir por zero deveria conduzir ao processo inverso, isto é, reconstruí-la. Mas, não é o que acontece.

Vimos que 2 x 0 = 0. Portanto, temos de supor que (2 x 0) : 0 nos leva de volta ao 2. Igualmente, (3 x 0) : 0 nos levaria de volta ao 3. Assim sucessivamente. Mas 2 x 0, 3 x 0, 4 x 0, ... cada um é igual a zero. Por isso, temos que (2 x 0) : 0 é o mesmo que 0 : 0, da mesma forma temos (3 x 0) : 0 e (4 x 0) : 0. Logo, chegamos à conclusão mais apavorante de que 0 : 0 é igual a 2, e igual a 3, e igual a 4 ....., o que simplesmente não faz o menor sentido!

Outras coisas estranhas também acontecem. No caso de 1/0 a multiplicação deveria desfazer o que a divisão faz, isto é, (1 : 0) x 0 deveria nos levar de volta ao 1. No entanto, vimos que qualquer coisa multiplicada por zero e igual a zero! Não há nenhum número que multiplicado por zero dê 1 – pelo menos dentre os números que conhecemos até hoje.

Pior de tudo é que se, intencionalmente, dividirmos um número por zero, não somente a reta numérica é destruída, mas também o é toda a lógica matemática e, desta forma, conseguimos "provar" qualquer coisa no universo. Como exemplo para esta última afirmação, "demonstramos", seguindo os passos a seguir, que 1 + 1 = 1 ou 1 = 0. Vejamos:



Seja a = b = 1

1) Se a = b, então: ab = b²

2) Então: ab – a² = b² - a²

3) Logo: a (b – a) = (b + a) (b – a)

4) Simplificando: a = b +a 1 = 1 + 1 ou 1 = 0.



Ao dividirmos pelo fator (b – a), estamos dividindo por zero, o que faz com que a lógica matemática se perca e nos leve a um resultado absurdo.

Como vimos, há muito poder nesse simples número que veio a tornar-se a ferramenta mais importante da matemática. Mas, graças às ímpares propriedades matemáticas e filosóficas do zero, esbarraria na filosofia fundamental do ocidente.


contiunua...
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domingo, 27 de setembro de 2009

2.2 - MAIAS E ASTECAS E A POLÊMICA SOBRE O INÍCIO DO SÉCULO


Para os Maias do México e da América Central, começar a contar pelo 1 não fazia muito sentido. Estes povos tinham um sistema numérico, e um calendário, que faziam mais sentido do que aqueles que usamos hoje. Usavam a base vigesimal que continha restos do anterior sistema de base 10 e, também, precisavam do zero para registrar o significado de cada dígito.


Os Maias tinham um excelente calendário solar. Estruturado na base 20, este calendário era dividido em 18 meses, com 20 dias cada um, totalizando 360 dias. Um período especial, UAYEB, de 5 dias era adicionado, ao fim de cada ciclo solar, completando 365 dias. Contudo, uma diferença era peculiar no calendário Maia. No mês Zip, por exemplo, o primeiro dia era usualmente chamado de INSTALAÇÃO ou ASSENTAMENTO de Zip; o dia seguinte era 1 zip, depois 2 zip e, assim por diante, até o 19 zip. O dia a seguir era o dia de ASSENTAMENTO de Zotz', 0 Zotz', seguido do 1 Zotz', etc...


Esse sistema fazia mais sentido que o atual sistema ocidental, pois nosso calendário é de uma época na qual o zero, ainda, não existia. Como conseqüência, não temos o dia zero ou o ano zero. Esta omissão parece insignificante, mas causou enorme discussão e confusão sobre o início do milênio. Os Maias jamais teriam dúvidas a respeito do primeiro ano do século XXI: 2000 ou 2001. Como nosso calendário foi feito pelos egípcios e depois pelos romanos, estamos presos a um incômodo calendário sem zeros.

quinta-feira, 24 de setembro de 2009

CAPÍTULO 2

2.1 OS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO NA ANTIGUIDADE E O SURGIMENTO DO ZERO

Ao contrário dos gregos, os egípcios não estavam interessados, e nem o fizeram, em aproximar a matemática da filosofia e transformá-la num sistema abstrato da lógica. Os gregos que assim fizeram, acabaram por levar a matemática ao apogeu dos tempos antigos: não só aprenderam toda a geometria egípcia como a transformaram num sistema lógico-dedutivo da forma como a entendemos hoje. Porém, não foram os gregos que inventaram o zero. O zero veio do oriente.

O sistema numérico grego era semelhante, no princípio, ao egípcio já que ambos se utilizavam da base 10 e de símbolos pra escrever os números. No Egito, usavam-se figuras e na Grécia eram usadas letras tais quais o H (eta) que simbolizava HEKATON (100) e o M (mu) que simbolizava MYRIORI (1000) – a miríade, o maior agrupamento do sistema grego. Vale ressaltar que também tinham um símbolo para o 5, alternando-se num sistema quinário-decimal.

Num âmbito geral, os dois sistemas, o grego e o egípcio, permaneceram muito parecidos durante algum tempo, mas enquanto o sistema de numeração egípcio não evoluiu, antes de 500 a.c., um novo sistema numérico feito pelos gregos foi implantado.

Antes da implantação de seu novo sistema, os gregos usavam muitas repetições de símbolos para designarem um número. Esse problema foi resolvido no novo sistema, escolhendo-se um novo símbolo para designar cada número, de tal forma que se evitassem as repetições. A escrita numérica romana foi um atraso sob esse aspecto, pois nesta, utilizavam-se muitas repetições.

Numa comparação entre os três sistemas, portanto, o grego despontava como o mais evoluído. Porém, dentre todos os sistemas de numeração surgidos na antiguidade, o sistema numérico criado pelos babilônios, no Crescente Fértil do atual Iraque, no Oriente, foi, de longe, o mais evoluído.

O sistema babilônico era de base sexagesimal e, hoje, pode nos parecer estranho, considerar um sistema baseado no numero 60, como o mais evoluído. Embora esse tipo de sistema pareça estranho a nossos olhos, este fazia total sentido para os babilônios que haviam inventado a mais antiga calculadora de que se tem notícia: uma máquina que auxiliava nos cálculos - o ábaco.

Os primeiros ábacos funcionavam por meio de movimentos de pedras colocadas em sulcos, ou colunas, feitos na areia. Usando esta "máquina", calcular (do latim calculus = pedra) era muito simples, pois o processo era baseado no movimento das pedras. Cada pedra em coluna diferente representava valores diferentes. Para fazer contas, mesmo com números grandes, era simplesmente necessário manipular as pedras do ábaco e traduzir o resultado obtido na forma de números.

Os babilônios, assim como gregos e egípcios, também usavam marcas distintas para representar números distintos. Contudo, sua característica ímpar era que um mesmo símbolo poderia representar diversos valores, dependendo da posição que ocupasse. Como no nosso sistema atual, o sistema babilônio pode ser entendido como um sistema posicional, isto é, onde a posição dos símbolos revela seus valores relativos. Por exemplo, no nosso sistema, no número 111, o mesmo símbolo, o algarismo 1, representa “um”, “dez” e “cem”, dependendo do lugar que ocupa na representação decimal posicional. Da mesma forma, no sistema babilônio, no número , o símbolo representa “um', “sessenta” ou “três mil e seiscentos”. Este sistema funcionava exatamente como um ábaco, exceto em um ponto. No sistema de numeração babilônico, o mesmo símbolo , era usado para representar o número 1, 60 ou 3600. A diferença era que, por exemplo, no número 60, a cunha localizava-se na segunda coluna e não na primeira. No ábaco era fácil observar a diferença e efetuar corretamente os cálculos, mas na representação escrita dos resultados ficava totalmente impossível notar a diferença entre esses e outros valores, tais como: 61 = e 3601 = .

Para resolver esse problema na representação escrita dos números, o zero foi a solução. Em, aproximadamente, 300 a.C., os babilônios começaram a usar cunhas inclinadas , na escrita de seus números, para representar um espaço em branco ou uma coluna vazia do ábaco. Com este “marca-lugar” tornou-se mais fácil dissociar as diferentes interpretações de cada símbolo. Na figura podemos ver alguns problemas e como o “marca-lugar” os resolve. Isto nos leva a crer que o zero nasceu de uma necessidade de dar a uma determinada sequência de símbolos um único e permanente significado numérico.

Apesar da sua importância, o zero, por esta época, era tido apenas como um “marca-lugar”. Afinal, o número 000218 significa 218, isto é, o zero não tinha realmente um valor numérico por si mesmo e só assumia um valor a partir de outros dígitos à sua esquerda. Por isso, nada significava, isoladamente. O zero era um dígito, não um número.

Se repararmos que o valor de um número provém da sua posição na linha dos números, ou seja, o 5 vem antes do 6 e depois do 4, no início, o zero não tinha nenhum valor, pois não tinha marca nessa linha dos números. Até hoje, temos essa visão de que o zero é um “marca-lugar e não um número com valor próprio se revela em algumas ocasiões. Por exemplo, o teclado do computador e do telefone trazem o zero depois do 9 e não antes do 1. Este fato é um indício de que o zero pode entrar em qualquer lugar, afinal, o “marca-lugar” zero pode se inserir em uma posição arbitrária qualquer na sequência dos números. Contudo, o zero vem sempre no final porque começamos a contar sempre do 1.

terça-feira, 22 de setembro de 2009

1.2 – OS PRECURSORES: A MATEMÁTICA NO EGITO


Dentre as civilizações mais antigas, os egípcios foram matemáticos evoluídos: eram mestres astrônomos e calendaristas, o que requeria o uso da matemática em virtude da inconstância do calendário. Vale ressaltar que criar um calendário estável para a maioria dos povos da antiguidade era um grande desafio. Os calendários antigos, geralmente, se baseavam nas fases da lua, visto que as passagens da lua eram facilmente observadas além de fornecerem um ciclo periódico de tempo fácil de marcar. Nesses calendários, os meses tinham a duração de duas luas cheias consecutivas tendo, aproximadamente, entre 29 e 30 dias. Assim, se o ano fosse formado por 12 meses, teria aproximadamente, 354 dias, isto é, 11 dias a menos que o ciclo solar e, se tivesse 13 meses, teria 19 dias a mais. Como é o ano solar que determina a época do plantio e da colheita, as estações do ano pareciam flutuar nesse calendário lunar.


Corrigir um calendário lunar não é tão simples. Israel e Arábia Saudita até hoje usam um calendário lunar modificado. Apesar disso, há 6000 anos, os egípcios inventaram uma forma de corrigir esse calendário. Simplesmente, tentaram organizá-lo de tal forma que ficasse em sincronia perfeita com as estações do ano por muito tempo, baseando-se no Sol, ao invés da Lua, para registrar a passagem do tempo.


Essa inovação egípcia no calendário foi um grande avanço científico, mas mais importante ainda na cultura egípcia foi a invenção da arte da geometria. Por uma razão prática, rapidamente, os egípcios se tornaram mestres na matemática. Todos os anos o Rio Nilo inundava o seu delta, fertilizando as terras localizadas às suas margens, após o escoamento dessa água. Porém, essas inundações periódicas também traziam problemas pois, carregavam consigo as marcas de delimitação de terras. Os egípcios levavam muito a sério a questão da propriedade terra e do respeito aos seus limites. Era considerado uma ofensa grave, equiparado a uma quebra de juramento desrespeitar os limites de terra do vizinho. Existiam algumas formas para trazerem de volta os limites de terras, mas nada mais eficaz do que o uso da matemática para, dividindo-se o terreno em retângulos e/ou triângulos, calcular áreas.


Os egípcios, no entanto, não se limitaram ao cálculo de áreas: aprenderam também a calcular volumes, como os das pirâmides.


Os resultados alcançados, alguns verdadeiramente notáveis para a época, fizeram com que a matemática de Egito se tornasse muito famosa. Todavia, apesar de todo o brilhantismo desta matemática, o zero não existia em lado algum do Egito.


Em parte, isso foi devido ao fato de que não houve uma progressão na matemática egípcia para além do cálculo de áreas e volumes e da contagem de dias e horas. Isto se explica por ser a matemática desenvolvida pelos egípcios, basicamente, empírica, baseada na resolução de problemas práticos. Essa tendência resultou na incapacidade dos matemáticos egípcios em utilizarem os princípios da geometria para algo não relacionado com situações do mundo real.
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continuação...

Graças à sua própria natureza, o sistema de numeração não parou no três: existiram civilizações que usavam a combinação de números para formar os seguintes; outras quantificavam determinadas situações simplesmente agrupando de cinco em cinco (o que não deixa de fazer sentido, em virtude dos cinco dedos da mão, isto é, a cada cinco unidades, teríamos, na verdade, uma mão); ou aquelas que agrupavam de seis em seis. Outro exemplo, ainda mais evidente para nós, seria o próprio sistema de numeração que, provavelmente as pessoas que viviam onde hoje é a França, usavam: a base vinte.

No entanto, nenhum destes sistemas tinha, digamos assim, um espaço para o zero. Este conceito simplesmente não existia. E não poderia existir mesmo, pois se, naquela época, a matemática era somente usada para contar coisas, então, como já notamos, ninguém contaria zero bananas. Ainda hoje, em situações cotidianas, este fato se evidencia. Por exemplo, quando vamos numa loja, o atendente não diz que tem “zero camisas”; o atendente fala “não temos camisas”.

Portanto, como não é necessário um número para designar a falta de algum objeto, não ocorreu a nenhum desses povos constituir um símbolo para representar essa ausência, isto é, para o zero. Por essa razão as pessoas toleraram a ausência do zero em seu cotidiano durante muito tempo: simplesmente, ele não era necessário.


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quinta-feira, 17 de setembro de 2009

A Vida sem o Zero

CAPÍTULO 1

Contam os historiadores que o início do pensamento matemático se deve ao desejo de pastores contar suas ovelhas e à necessidade do homem de registrar a passagem do tempo. Nenhuma destas tarefas requer o uso do zero. Afinal, não contamos zero ovelhas ou sequer mencionamos o dia zero do mês. As civilizações mais antigas que só usavam a matemática para contar e registrar a passagem do tempo, viveram muito bem, milênios antes da descoberta do zero. De fato, o zero era tão aberrante para algumas civilizações que estas resolveram viver sem ele.

Mas, como, exatamente, viviam essas civilizações antes da descoberta deste surpreendente elemento? É muito difícil imaginarmos a vida sem o número zero, porque, após muitos séculos, já estamos por demais acostumados com sua presença. Para tentar imaginar o quanto é difícil uma vida sem o zero, poderíamos fazer uma analogia com os outros números. Assim, é mais fácil perceber que, da mesma forma, é difícil imaginar a vida sem o 9 ou o 28.

No entanto, houve um tempo em que não havia o zero, nem o 9, nem o 28. Esta conclusão é baseada em várias descobertas arqueológicas, como a de um osso de lobo de mais de 30.000 anos, com uma série de entalhes esculpidos, feita pelo arqueólogo Karl Absolom, nos anos 30.

Ninguém sabe ao certo para que esse homem das cavernas usava tal osso. Poderia ser para contar quantos animais já havia matado, ou quantos dias já haviam passado sem um banho, ou quantas frutas conseguiu comer de uma vez só. Enfim, a única coisa que podemos dizer é que os primeiros homens usavam este tipo de marcação para realizar e registrar o resultado de contagens. Vale ressaltar que o osso dos homens das cavernas funcionava como um grande computador da época, dado que seus antepassados não tinham nem a condição de exprimir a quantidade exata para determinadas contagens, pois só diferenciavam entre um e muitos. Isto é, um antepassado do homem das cavernas tinha uma ponta de lança ou muitas pontas de lança; recolhia uma maçã da árvore ou muitas maçãs.
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Com o tempo, a linguagem foi se aprimorando e começou a haver distinções entre um, dois e muitos; um, dois, três e muitos e, assim, sucessivamente. Contudo, ainda hoje existem povos, tais como os índios bolivianos Siriona e os brasileiros Ianomames, cuja linguagem é limitada não existindo palavras para designar quantidades superiores a três. No lugar destas, entram muito ou muitos. Sem dúvida, esses povos não precisavam do zero para suas necessidades diárias.
Continua...

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domingo, 13 de setembro de 2009

História da Matemática - ZERO, O NADA QUE EXISTE.

O zero atingiu o USS Yorktown como um torpedo. Enquanto navegava ao largo da costa da Virgínia, o cruzador de um bilhão de dólares estremeceu e parou. O Yorktown estava morto na água.

Os navios de guerra foram desenhados para agüentarem o impacto de um torpedo ou a explosão de uma bomba. Embora estivesse blindado contra armas, ninguém pensou em defender o Yorktown do zero. Foi um erro grave.

Os computadores do Yorktown tinham acabado de receber software novo que controlava os motores. Infelizmente, ninguém tinha detectado a bomba-relógio latente no código, um zero que se supunha os engenheiros terem retirado quando instalavam o software. Mas, por algum motivo, o zero passou despercebido e permaneceu escondido no código. Escondido, isto é, até o software o chamar à memória – e paralisar.

Quando o sistema de computadores do Yorktown tentou dividir por zero, 80 000 cavalos tornaram-se instantaneamente inúteis. Demorou quase três horas para ligar os motores novamente para transporta-lo até o porto. Os engenheiros levaram dois dias para se libertarem do zero, reparando os motores e pondo o Yorktown de novo em condições de combate.

Nenhum outro número pode fazer tanto dano. Falhas de computador como a que atacou o Yorktown são apenas uma pálida sombra do poder do zero. As culturas defenderam-se do zero, mas houve filosofias que desmoronaram sob sua influência, pois o zero é diferente dos outros números. Dá-nos um vislumbre do inefável e do infinito. E é por isso que foi odiado – e declarado ilegal.

Esta é a história do zero, desde o seu nascimento na Antiguidade até o seu crescimento e sustento no Oriente, a sua luta para ser aceito na Europa e a sua ascensão no Ocidente. É a história das pessoas que se debateram sobre o significado do número misterioso – os eruditos, os místicos, os cientistas e os religiosos – cada um tentou compreender o zero. É a história das tentativas do mundo ocidental para se proteger em vão (e por vezes violentamente) de uma idéia oriental. E é a história dos paradoxos colocados por um número aparentemente inocente, confundindo ainda as mentes mais brilhantes deste século e ameaçando desafiar todo o enquadramento do pensamento científico.

O zero esteve no cerne da batalha entre Oriente e Ocidente. O zero esteve no centro da contenda entre religião e ciência. O zero se tornou a linguagem da natureza e a mais importante ferramenta da matemática.

Contudo, ao longo de toda sua história, apesar da rejeição e do exílio, o zero derrotou sempre aqueles que se lhe opuseram. A humanidade nunca conseguiu forçar o zero a ajustar-se à suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a visão que a humanidade tem do universo – e de Deus.

No capítulo 1 mostramos como era a vida sem o número zero. Mostramos todo o processo de contagem que os primitivos se utilizavam. Também mostramos a matemática egípcia, toda sua geometria e conceitos.

No capítulo 2 falamos dos principais sistemas de numeração e, a partir deles, o surgimento do zero. Em seguida, falamos de suas propriedades e mitos.

No capítulo seguinte, abordamos a Filosofia Aristotélica e a negação do zero pelo Oriente.
Após isso, trouxemos a matemática do Oriente, principalmente indiana e árabe, que “aderiu” ao zero em seus sistemas de numeração.


No quinto capítulo, mostramos o Triunfo do Zero. A aceitação, enfim, do zero, pelo Ocidente, através do livro de Fibonacci, um matemático filho de italiano.

No último capítulo, mostramos o zero fazendo suas “travessuras”, como no famoso caso de indeterminação , uma das grandes responsáveis pelo surgimento do cálculo.

Cada capítulo será postado separadamente.

Um abraço

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sábado, 5 de setembro de 2009


O dia 20 de Fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de Fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa).
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A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de Novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de Dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de Março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.
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segunda-feira, 24 de agosto de 2009

TRAVA-LÍNGUAS


Divertido e desafiador!

Salve o nosso FOLCLORE!

FONTE: Blog da Suzette Paula

domingo, 16 de agosto de 2009